斜率的傳遞函數：次諧波振蕩的理論解釋

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斜率的傳遞函數：次諧波振蕩的理論解釋

眾所周知，在固定頻率的峰值電流模式控制的降壓轉換器中，電感電流連續，占空比大于50%時，會發生次諧波（低諧波）振蕩，并且在近來幾乎所有電源用IC中搭載斜率補償電路作為對策。

這一篇雖然稍微偏離導出DC/DC轉換器的傳遞函數的主題，但因對理解次諧波振蕩的理論解釋非常重要，所以這里進行解釋。

電流模式降壓轉換器的線圈（電感）電流波形如圖10。這里，將某時間的電流值標為In,將1周期后的電流值標為In+1。

此時，導通時間用tON(n)表示，關斷時間用tOFF(n)表示，導通時線圈電流的傾斜度用m1表示，關斷時線圈電流的傾斜度用m2表示。

使用它們，并用In+1來表示In的話，便生成公式3-15。

電源廠

在這里，m1用公式3-16表示，此時，m2可以用公式3-17來表示。

下圖11是圖10的PWM輸入波形。電流感應增益是RS的話，剛導通時的PWM輸入則是RSIn。

次諧波振蕩的理論解釋

此外，tON的時間段增加的電流為m1tON(n)，因此PWM輸入的峰值電壓VC可以用公式3-18來表示。

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此時，公式3-15的tOFF(n)可以變換成公式3-19。在這里，T是指周期。

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根據公式 3-18 計算 tON(n)，并將它帶入公式3-15計算的話，就可計算出公式3-20。

｛In+1 – In｝是等比數列，因此不發生次諧波振蕩的條件是此等比數列n → ∞，收斂為0。也就是說，以下公式3-21就是條件。

電源廠

此外，在公式3-21中代入公式3-16和公式3-17的話，就能計算出以下條件公式3-22。

因而，占空比D為1/2、小于50%是不產生次諧波振蕩的條件，符合開頭的表述，占空比大于50%的話，就能導出次諧波振蕩的理論解釋。

開關電源峰值電流模式次諧波振蕩探討

DC-DC開關電源因體積小，重量輕，效率高，性能穩定等優點在電子、電器設備，家電領域得到了廣泛應用，進入了快速發展期。DC-DC開關電源采用功率半導體作為開關，通過控制開關的占空比調整輸出電壓。其控制電路拓撲分為電流模式和電壓模式，電流模式控制因動態反應快、補償電路簡化、增益帶寬大、輸出電感小和易于均流等優點而被廣泛應用。電流模式控制又分為峰值電流控制和平均電流控制，峰值電流的優點為：1)暫態閉環響應比較快，對輸入電壓的變化和輸出負載的變化瞬態響應也比較快;2)控制環易于設計;3)具有簡單自動的磁平衡功能;4)具有瞬時峰值電流限流功能等。但是峰值電感電流可能會引起系統出現次諧波振蕩，許多文獻雖對此進行一定的介紹，但都沒有對次諧波振蕩進行系統研究，特別是其產生原因和具體的電路實現，本文將對次諧波振蕩進行系統研究。

1 次諧波振蕩產生原因

以PWM調制峰值電流模式開關電源為例(如圖1所示，并給出了下斜坡補償結構)，對次諧波振蕩產生的原因從不同的角度進行詳細分析。

電源廠

對于電流內環控制模式，圖2給出了當系統占空比大于50%且電感電流發生微小階躍△厶時的電感電流變化情況，其中實線為系統正常工作時的電感電流波形，虛線為電感電流實際工作波形。可以看出：1)后一個時鐘周期的電感電流誤差比前一個周期的電感電流誤差大，即電感電流誤差信號振蕩發散，系統不穩定;2)振蕩周期為開關周期的2倍，即振蕩頻率為開關頻率的1/2，這就是次諧波振蕩名稱的由來。圖3給出了當系統占空比大于50%且占空比發生微小階躍AD時電感電流的變化情況，可以看出系統同樣會出現次諧波振蕩。而當系統占空比小于50%時，雖然電感電流或占空比的擾動同樣會引起電感電流誤差信號發生振蕩，但這種振蕩屬于衰減振蕩。系統是穩定的。

前面定性分析了次諧波振蕩產生的原因，現對其進行定量分析。針對圖1，圖4給出了占空比擾動引起電感峰值電流誤差信號變化情況，其中Vc為誤差運放的輸出信號，當功率管MO導通即電感電流線性上升時，Vc隨之增加，反之當功率管M0關斷時，Vc隨之減小。從圖4可以看出當占空比在連續2個時鐘脈沖下存在不對稱時，系統將出現次諧波振蕩。現推導△Vc與△IL的關系，占空比擾動△D引起電感電流與誤差運放輸出電壓的變化值分別如式(1)和(2)所示，由式(1)和(2)可推導出Vc與△IL的關系如式(3)所示：

電源適配器

式中：T為開關周期;m1為峰值電流上升斜率;m2為峰值電流下降斜率絕對值;七代表采樣電阻。

由于次諧波振蕩頻率為開關頻率的1/2，因此在1/2開關頻率處的電壓環路增益將直接影響電路的穩定性?，F推導圖1的電壓環路增益，在誤差運放輸出端疊加斜坡補償后，設誤差電壓從△Vc變為△Ve，從而可推出△Vc與△Ve的關系，如式(4)所示。由式(3)和(4)可得式(5)，在穩態時可推出式(6)，將式(6)代入式(5)消去m1，得式(7)：

電源廠

式中：m為下斜坡斜率;2表示次諧波振蕩周期是開關頻率的2倍。

從圖4可以看出△IL是周期為2T的方波，則第1個次諧波振幅應乘以4/π。假設負載電容為C，則從誤差運放輸出端到電源輸出端的小信號電壓增益為

電源適配器

設誤差運放電壓增益為A，則電壓外環環路增益為

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由環路穩定性條件可知：在l/2開關頻率處，環路相位裕度為零，此時若環路增益大于l，系統就會發生次諧波振蕩，因此誤差運放的較大增益為：

電源適配器

由式(8)可以明顯看出，誤差運放的較大增益是占空比D和斜坡補償斜率m的函數，歸一化的誤差運放較大增益與D和m的關系如圖5所示?？梢钥闯觯簃=O(無補償)時，由于運放增益不能小于O，當占空比大于或等于50%時，系統就會出現次諧波振蕩;m=一m2/2時，D=100%才出現次諧波振蕩，但在實際電路中D<100%時就會出現振蕩;m=一m2時，誤差運放較大增益與占空比無關。當繼續增大m時，對環路的穩定性影響不大，但過補償會影響系統瞬態響應特性。

上文研究了電感電流信號變化波形對次諧波振蕩產生的原因及解決辦法，現從s域(或頻域)角度對其進行更深入的研究。設采樣電感電流i，通過采樣電阻Rs轉化成電壓，i(k)表示第k時鐘下的電流擾動量，△Ve(k+1)為第k+1時刻的電壓控制擾動量，得采樣保持的離散時間函數：

電源適配器

由式(10)可知當沒有斜坡補償，且m11，表示有1個極點在單位圓之外，此時電流環不穩定。將H(z)轉化為s域傳遞函數：

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式中s表示頻率。esT可用PadE可用Pade進行二階近似：

電源適配器

式中Qs=2/[π(2/α-1)]，即阻尼系數為1/Qs=[π(m1-m2+2m)]/[2(m1+m2)]。式(13)即為電流環傳遞函數，斜坡補償前，當m1(m2-m1)/2即m>max[(m2-m1)/2]=m2/2時，Qs大于0，此時電流環傳遞函數的極點將出現在左半平面，此時系統也不一定穩定，只有保證電流環具有足夠的相位裕度時，系統才穩定。當m2>m>m2/2時，系統雖穩定，但此時還是會出現振鈴電流，只有當m=m2即阻尼系數為π/2時，系統才能在一個周期內消除振鈴電流，從而獲得非常好的瞬態響應。當m>m2時，雖然電流環相位裕度增加，但其帶寬變小，即出現過補償現象，此時會影響系統的響應速度。

2 斜坡補償方式及電路實現

前文從幾個方面研究了次諧波振蕩產生的原因，并且指出斜坡補償能防止系統出次諧波振蕩，現研究補償方式及其具體電路實現。開關電源斜坡補償分為上斜坡補償與下斜坡補償2種方式。圖6為下斜坡補償原理，給出了下斜坡補償時占空比大于50%的電感峰值電流波形(電流微小擾動作為激勵信號)。與圖2相比，僅Ve從水平直線改為下斜坡。從圖6可以看出，引入斜坡補償后，電流誤差信號每經過一個時鐘周期，幅度成比例衰減，較后消失。圖7為上斜坡補償原理，給出了占空比大于50%的電感峰值電流波形。其補償原理就是在電感峰值電流a上疊加上斜坡補償電流b，形成檢測電流c，使占空比小于50%，穩定系統。由于上斜坡補償電路實現相對簡單，一般采用上斜坡補償。

對于斜坡補償，斜率越大，振蕩衰減越快，但補償斜率過大，會造成過補償。過補償會加劇斜坡補償對系統開關電流限制指標的影響，從而降低系統的帶載能力;另一方面，過補償會影響系統瞬態響應特性。通常選擇斜坡補償斜率需根據需要折中考慮。對于Buck和Flyback轉換器，補償斜坡一般取峰值電流下降斜率m2即Vout/L，由于輸出電壓恒定，所以補償值便于計算并恒定;對于Boost電路，補償斜坡也一般取峰值電流下降斜率m2，即(Vout-Vin)/L但由于輸入電壓隨電網變化，從而要求補償值跟隨輸入電壓的變化，此時若為了電路設計簡單，強迫斜坡斜率固定，則可能出現過補償或欠補償現象，降低電路性能并導致波形畸變。

斜率的傳遞函數

因Buck與Flyback轉換器斜坡補償原理電路實現基本相同，因此本文只給出了一種上斜坡補償的Flyback斜坡補償電路(圖8所示)。圖9為本文第二作者提出的一種升壓型轉換器自調節斜坡補償電路。采用Hspice仿真軟件分別對圖8和圖9進行仿真，仿真結果分別如圖10和圖11所示。圖10的振蕩器頻率為100 kHz。m1為檢測電流曲線，其從0慢慢上升到40μA。虛線a,b和c代表具有不同斜率的斜坡補償信號，線A，B和C分別為疊加后的曲線。從圖10可看出：通過改變電阻R5和R4的比值，可以得到具有不同斜坡的補償信號。圖11中，Vsense為電感上的峰值電流流過檢測電阻所產生的電壓，Vslope為經上斜坡補償后的檢測電流流過檢測電阻所產生的電壓。從圖11可以看出，不同的輸入電壓對應不同的補償斜坡，并且斜坡變化與(Vout-Vin)的變化成正比即達到了自調節功能。

次諧波振蕩的理論解釋